本題

Googleカスタム検索を作る

そのサイト用のGoogleカスタム検索を作ります。
作り方は割愛。

作成後に　カスタム検索の管理ページ
からそのカスタム検索のURL(例:http://www.google.co.jp/cse/home?cx=000384542600477905905:l6xzcxlvrp8)に移動し、適当な文字列で検索、その時のURLをコピーしておきます

• 例:http://www.google.com/cse?cx=000384542600477905905%3Al6xzcxlvrp8&ie=UTF-8&q=test&sa=%E6%A4%9C%E7%B4%A2&siteurl=www.google.co.jp%2Fcse%2Fhome%3Fcx%3D000384542600477905905%3Al6xzcxlvrp8)。

Googleサイトにカスタム検索を追加する

サイト管理ページ -> サイトのレイアウト -> 検索を設定 -> 詳細 -> プロバイダを追加

種類: Googleカスタム検索
名前:任意の名前(検索ボタンの名称に使われれる)
Googleカスタム検索エンジンのURL: 先ほどコピーしておいた検索時のURLを貼り付けます（詳細から飛べるページに書いてありますが、URLを勝手に色々置換するのでそのまま貼りつけて大丈夫だそうです）

必要であればデフォルトの検索をカスタム検索に変更します。

以上でGoogleサイト内検索としてGoogleカスタム検索を利用することができます。

まあそもそもサイト内検索が効かなくなっているという点がどうやったら治るのかというのが未だに謎だったり、こういう時の連絡先も謎だったりするので、そこはマジでどうにかしてくださいGoogle。